Question

9．（1）用分析法證明：$\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}＞\sqrt{5}-2$；
（2）用放縮法證明：$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}＜2（n∈{N^+}）$．

Answer 1

分析 （1）把不等式左邊化成$\sqrt{3}-\sqrt{2}$，兩邊平方尋找使不等式成立的充分條件即可；
（2）根據(jù)$\frac{1}{{n}^{2}}＜$$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$（n＞1）放縮即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）欲證：$\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}＞\sqrt{5}-2$，
只需證：$\sqrt{3}-\sqrt{2}$＞$\sqrt{5}$-2，
只需證：5-2$\sqrt{6}$＞9-4$\sqrt{5}$，
即證：$\sqrt{6}$＜-2+2$\sqrt{5}$，
只需證：6＜24-8$\sqrt{5}$，
即證：4$\sqrt{5}$＜9，
只需證：80＜81，
顯然上式恒成立，
故$\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}＞\sqrt{5}-2$．
（2）∵$\frac{1}{{n}^{2}}＜$$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$（n＞1），
∴$\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}+$$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜1+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$=2-$\frac{1}{n}$＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的證明，屬于中檔題．