Question

19．如圖，點(diǎn)O是△ABC的外心，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OADB，再以O(shè)C、OD為鄰邊作平行四邊形OCHD，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$；
（1）用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$表示向量$\overrightarrow{OH}$；
（2）證明：$\overrightarrow{AH}$⊥$\overrightarrow{BC}$；
（3）若在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，外接圓半徑為2；求|$\overrightarrow{OH}$|．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量的平行四邊形法則，即可得到向量$\overrightarrow{OH}$；
（2）運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，以及向量的加減運(yùn)算，計(jì)算即可得證；
（3）運(yùn)用（1）的結(jié)論和向量的平方即為模的平方和向量數(shù)量積的定義，結(jié)合圓的圓心角為圓周角的2倍，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$；
（2）證明：$\overrightarrow{AH}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{OH}$-$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$）
=（$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$）=$\overrightarrow{OC}$²-$\overrightarrow{OB}$²=0，
則$\overrightarrow{AH}$⊥$\overrightarrow{BC}$；
（3）|$\overrightarrow{OH}$|²=（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²+$\overrightarrow{c}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+2$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$+2$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$
=4+4+4+2×2×2×cos∠AOB+2×2×2×cos∠BOC+2×2×2×cos∠COA
=12+8（cos∠AOB+cos∠BOC+cos∠COA）
∵∠BAC=60°∴∠BOC=120°（圓心角是圓周角的兩倍）
∴cos∠BOC=-$\frac{1}{2}$，
同理可得，cos∠AOC=0，cos∠AOB=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴|$\overrightarrow{OH}$|²=12+8×（-$\frac{1}{2}$+0-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=8-4$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{OH}$|=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的運(yùn)算法則、向量的數(shù)量積公式、向量垂直的充要條件、向量的模的平方等于向量的平方、圓的圓心角等于圓周角的二倍，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．