Question

【題目】某廠生產(chǎn)產(chǎn)品x件的總成本C（x）=1000+x2（萬元），已知產(chǎn)品單價P（萬元）與產(chǎn)品件數(shù)x滿足：P2= ，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元．
（1）設(shè)產(chǎn)量為x件時，總利潤為L（x）（萬元），求L（x）的解析式；
（2）產(chǎn)量x定為多少時總利潤L（x）（萬元）最大？并求最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由產(chǎn)品單價P（萬元）與產(chǎn)品件數(shù)x滿足： ，

生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元，得 ，

∴k=250000

即 ．

（x∈（0，+∞）且x∈N*）

（2）解：由 得 ．

令L'（x）=0即 ，

∴x=25

當(dāng)x∈（0，25）時，L'（x）＞0，L（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（25，+∞）時，L'（x）＜0，L（x）單調(diào)遞減；

因此當(dāng)x=25時，L（x）取得最大值，且最大值為L（25）=2500﹣1000﹣625=875（萬元）

故產(chǎn)量x定為25件時，總利潤L（x）（萬元）最大，最大值為875萬元

【解析】（1）根據(jù)題意可求出k=250000，進而得出總利潤為L（x）為總賣價減去總成本；（2）根據(jù)利潤表達式，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的極值，進而求出函數(shù)的最大值．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．