Question

7．設(shè)點(diǎn)A，B分別是x，y軸上的兩個(gè)動點(diǎn)，AB=1，若$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}$．
（1）求點(diǎn)C的軌跡Γ；
（2）已知直線l：x+4y-2=0，過點(diǎn)D（2，2）作直線m交軌跡Γ于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)，交直線l于點(diǎn)K．問$\frac{|DK|}{|DE|}$+$\frac{|DK|}{|DF|}$的值是否為定值，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)出A（m，0），B（0，n），可得m²+n²=1，再設(shè)C（x，y），由向量等式把m，n用含有x，y的代數(shù)式表示，代入m²+n²=1可得點(diǎn)C的軌跡Г；
（2）分別設(shè)出E，F(xiàn)，K的橫坐標(biāo)分別為：x_E，x_F，x_K，設(shè)直線m的方程：y-2=k（x-2），與直線l：x+4y-2=0聯(lián)立可得x_K，聯(lián)立直線方程與橢圓m的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x_E+x_F，x_Ex_F，求得$\frac{|DK|}{|DE|}$+$\frac{|DK|}{|DF|}$的值為定值2得答案．

解答 解：（1）設(shè)A（m，0），B（0，n），則m²+n²=1，
設(shè)C（x，y），由$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}$，得（m，-n）=（x-m，y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=x-m}\\{-n=y}\end{array}\right.$，得m=$\frac{x}{2}$，y=-n，
代入m²+n²=1，得$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）設(shè)E，F(xiàn)，K的橫坐標(biāo)分別為：x_E，x_F，x_K，
設(shè)直線m的方程：y-2=k（x-2），與直線l：x+4y-2=0聯(lián)立可得x_K=$\frac{8k-6}{4k+1}$，
將直線m代入橢圓方程得：（1+4k²）x²+8k（-2k+2）x+16k²-32k+12=0，
∴x_E+x_F=$\frac{8k（2-2k）}{1+4{k}^{2}}$，x_Ex_F=$\frac{16{k}^{2}-32k+12}{1+4{k}^{2}}$，
∴$\frac{|DK|}{|DE|}$+$\frac{|DK|}{|DF|}$=$\frac{{x}_{D}-{x}_{K}}{{x}_{D}-{x}_{E}}$+$\frac{{x}_{D}-{x}_{K}}{{x}_{D}-{x}_{F}}$=$\frac{（{x}_{D}-{x}_{K}）[2{x}_{D}-（{x}_{E}+{x}_{F}）]}{{{x}_{D}}^{2}-{x}_{D}（{x}_{E}+{x}_{F}）+{x}_{E}{x}_{F}}$=2為定值．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，是壓軸題．