Question

18．如圖所示，圓柱的高為2，底面半徑為$\sqrt{7}$，AE，DF是圓柱的兩條母線，過AD做圓柱的截面交下底面于BC，四邊形ABCD是正方形．
（I）求證：BC⊥BE；
（Ⅱ）求四棱錐E-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （I）由圓柱母線垂直底面得AE⊥BC，又BC⊥AB，得出BC⊥平面ABE，于是BC⊥BE；
（II）過E作EO⊥AB，則可證EO⊥平面ABCD，設(shè)正方形邊長為x，求出BE，在Rt△BCE中利用勾股定理列方程解出x，代入棱錐的體積公式計算．

解答 證明：（I）∵AE是圓柱的母線，
∴AE⊥底面BCFE，∵BC?平面BCFE，
∴AE⊥BC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，
又AB?平面ABE，AE?平面ABE，AB∩AE=A，
∴BC⊥平面ABE，∵BE?平面ABE，
∴BC⊥BE．
（II）過E作EO⊥AB于O，
由（I）知BC⊥平面ABE，∵EO?平面ABE，
∴BC⊥EO，又AB?平面ABCD，BC?平面ABCD，AB∩BC=B，
∴EO⊥平面ABCD．
設(shè)正方形ABCD的邊長為x，則AB=BC=x，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-4}$，
∵BC⊥BE，∴EC為圓柱底面直徑，即EC=2$\sqrt{7}$．
∵BE²+BC²=EC²，即x²-4+x²=28，解得x=4，
∴BE=2$\sqrt{3}$，EO=$\frac{AE•BE}{AB}=\sqrt{3}$，S_{正方形ABCD}=16，
∴V_E-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•EO$=$\frac{1}{3}×16×\sqrt{3}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．