Question

17．如圖，拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F（0，1），取垂直于y軸的直線與拋物線交于不同的兩點P₁，P₂，過P₁，P₂作圓心為Q的圓，使拋物線上其余點均在圓外，且P₁Q⊥P₂Q．
（1）求拋物線C和圓Q的方程；
（2）過點F作傾斜角為θ（$\frac{π}{6}$≤θ≤$\frac{π}{4}$）的直線l，且直線l與拋物線C和圓Q依次交于M，A，B，N，求|MN||AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的焦點坐標求出p值，可得拋物線方程，再由${P_2}（\frac{{\sqrt{2}}}{2}r，b-\frac{{\sqrt{2}}}{2}r）$，代入拋物線方程有$\frac{r^2}{2}=4b-2\sqrt{2}r$，拋物線在點P₂處切線的斜率為$k=\frac{{\sqrt{2}r}}{4}$．由$∠Q{P_1}{P_2}={45^0}$，知$k=\frac{{\sqrt{2}r}}{4}=1$，求出r，b，可得圓Q的方程；
（2）設(shè)出直線方程y=kx+1且$k=tanθ∈[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1]$，和拋物線方程聯(lián)立，利用拋物線的焦點弦長公式求得|MN|，再由圓心距、圓的半徑和弦長的關(guān)系求得|AB|，從而求得|MN|•|AB|的最小值．

解答 解：（1）因為拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F（0，1），
所以$\frac{p}{2}=1$，解得p=2，所以拋物線C的方程為x²=4y．
由拋物線和圓的對稱性，可設(shè)圓Q：x²+（y-b）²=r²，
∵P₁Q⊥P₂Q，∴△P₁QP₂是等腰直角三角形，則$∠Q{P_1}{P_2}={45^0}$，
∴${P_2}（\frac{{\sqrt{2}}}{2}r，b-\frac{{\sqrt{2}}}{2}r）$，代入拋物線方程有$\frac{r^2}{2}=4b-2\sqrt{2}r$．
由題可知在P₁，P₂處圓和拋物線相切，對拋物線x²=4y求導(dǎo)得${y^'}=\frac{x}{2}$，
所以拋物線在點P₂處切線的斜率為$k=\frac{{\sqrt{2}r}}{4}$．
由$∠Q{P_1}{P_2}={45^0}$，知$k=\frac{{\sqrt{2}r}}{4}=1$，所以$r=2\sqrt{2}$，代入$\frac{r^2}{2}=4b-2\sqrt{2}r$，解得b=3．
所以圓Q的方程為x²+（y-3）²=8．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+1，且$k=tanθ∈[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1]$，
圓心Q（0，3）到直線l的距離為$d=\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
∴$|AB|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=4\sqrt{2-\frac{1}{{1+{k^2}}}}$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}=4y}\\{y=kx+1}\end{array}}\right.$，得y²-（2+4k²）y+1=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則${y_1}+{y_2}=4{k^2}+2$，由拋物線定義知，$|MN|={y_1}+{y_2}+2=4（1+{k^2}）$，
所以$|MN|•|AB|=16（1+{k^2}）\sqrt{2-\frac{1}{{1+{k^2}}}}$，
設(shè)t=1+k²，因為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤k≤1$，所以$\frac{4}{3}≤t≤2$，
所以$|MN|•|AB|=16t\sqrt{2-\frac{1}{t}}=16\sqrt{2{t^2}-t}=16\sqrt{2{{（t-\frac{1}{4}）}^2}-\frac{1}{8}}（\frac{4}{3}≤t≤2）$，
所以當(dāng)$t=\frac{4}{3}$時，即$k=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時，|MN||AB|有最小值$\frac{{32\sqrt{5}}}{3}$．

點評 本題考查直線與拋物線方程的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，以及圓的方程的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬難題．