Processing math: 92%
2.已知函數(shù)f(x)(x∈R,且x>0),對(duì)于定義域內(nèi)任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),并且x>1時(shí),f(x)>0恒成立.
(1)求f(1);
(2)若x∈[1,+∞)時(shí),不等式f(x2+2x+ax)>f(1)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)(1)令x=y=1,根據(jù)函數(shù)f(x)(x∈R,且x>0),對(duì)于定義域內(nèi)任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),我們易構(gòu)造關(guān)于f(1)的方程,解方程即可求出求f(1);   
(2)易將不等式f(x2+2x+ax)>f(1)轉(zhuǎn)化為a>-x2-x在x∈[1,+∞)時(shí)恒成立,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),我們即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解答 解:(1)∵定義域內(nèi)任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),
令x=y=1,
∴f(1)=2f(1),
∴f(1)=0;
(2)任取0<x1<x2,則x2x1>1,則題意得f(x2x1)>0,
又定義域內(nèi)任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),
∴f(xy)-f(y)=f(x),
∴f(x2)-f(x1)=f(x2x1)>0,
∴f(x2)>f(x1),
∴函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),由(1)和f(1)=0,
當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),不等式f(x2+2x+ax)>f(1)恒成立,
x2+2x+ax)>1恒成立,
即x2+2x+a>x,即a>-x2-x在x∈[1,+∞)時(shí)恒成立,
∵-x2-x在x∈[1,+∞)時(shí)最大值為-2,
∴a>-2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),其中(1)的關(guān)鍵是“湊配”思想的應(yīng)用,(2)的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性對(duì)不等式f(x2+2x+ax)>f(1)進(jìn)行變形,是一道中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

12.一質(zhì)點(diǎn)受到同一平面上的三個(gè)力F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3(單位:牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài),已知F1,F(xiàn)2成120°角,且F1,F(xiàn)2的大小都為6牛頓,則F3的大小為6牛頓.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.已知F1,F(xiàn)2是橢圓x2100+y264=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),則|PF1|•|PF2|的最大值是( �。�
A.64B.100C.36D.136

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.已知函數(shù)f(x)=x+2kx2x2且f(x)>0的解集為(-1,0)∪(0,2).
(1)求k的值;
(2)如果實(shí)數(shù)t同時(shí)滿足下列兩個(gè)命題;
 ①?x∈(12,1),t-1<f(x)恒成立;
②?x0∈(-5,0),t-1<f(x0)成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(3)若關(guān)于x的方程lnf(x)+2lnx=ln(3-ax)僅有一解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

17.如圖,在△ABC中,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,交△ABC的外接圓于點(diǎn)E,延長(zhǎng)AC交△DCE的外接圓于點(diǎn)F,DF=14
(Ⅰ)求BD;
(Ⅱ)若∠AEF=90°,AD=3,求DE的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

7.定義A-B={x|x∈A且x∉B},若A={2,4,6,8,10},B={1,4,8},則A-B={2,6,10}.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

14.sin77°cos47°-sin13°cos43°=12

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

11.化簡(jiǎn)\frac{sin22°+cos45°sin23°}{cos22°-sin45°sin23°}=1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

12.已知函數(shù)f(x)=e|x-m|(m為常數(shù)),若f(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù),則m的取值范圍是(-∞,2].

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案