分析 (1)(1)令x=y=1,根據(jù)函數(shù)f(x)(x∈R,且x>0),對(duì)于定義域內(nèi)任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),我們易構(gòu)造關(guān)于f(1)的方程,解方程即可求出求f(1);
(2)易將不等式f(x2+2x+ax)>f(1)轉(zhuǎn)化為a>-x2-x在x∈[1,+∞)時(shí)恒成立,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),我們即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答 解:(1)∵定義域內(nèi)任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),
令x=y=1,
∴f(1)=2f(1),
∴f(1)=0;
(2)任取0<x1<x2,則x2x1>1,則題意得f(x2x1)>0,
又定義域內(nèi)任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y),
∴f(xy)-f(y)=f(x),
∴f(x2)-f(x1)=f(x2x1)>0,
∴f(x2)>f(x1),
∴函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),由(1)和f(1)=0,
當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),不等式f(x2+2x+ax)>f(1)恒成立,
即x2+2x+ax)>1恒成立,
即x2+2x+a>x,即a>-x2-x在x∈[1,+∞)時(shí)恒成立,
∵-x2-x在x∈[1,+∞)時(shí)最大值為-2,
∴a>-2.
點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),其中(1)的關(guān)鍵是“湊配”思想的應(yīng)用,(2)的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性對(duì)不等式f(x2+2x+ax)>f(1)進(jìn)行變形,是一道中檔題.
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