Question

7．設(shè)0＜a＜b，過兩定點(diǎn)A（a，0）和B（b，0）分別引直線l和m，使之與拋物線y²=x有四個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)這四點(diǎn)共圓時(shí)，這種直線l和m的交點(diǎn)P的軌跡為2x-（a+b）=0，（y≠0）．

Answer 1

分析 由題意設(shè)出l、m的方程，由圓系方程得到四點(diǎn)所共圓的方程，利用圓方程的特點(diǎn)得到直線l、m斜率的關(guān)系，消去參數(shù)，即可求得結(jié)論．

解答 解：如圖，由題意可知，直線l和m的斜率存在且不為0，
設(shè)l：y=k₁（x-a），m：y=k₂（x-b），
即l：k₁x-y-k₁a=0，m：k₂x-y-k₂b=0，
則兩直線l、m可寫為（k₁x-y-k₁a）（k₂x-y-k₂b）=0，
由圓系方程可得，過兩曲線（k₁x-y-k₁a）（k₂x-y-k₂b）=0與y²=x的交點(diǎn)的圓系方程為：
（k₁x-y-k₁a）（k₂x-y-k₂b）+λ（y²-x）=0，
即k₁k₂x²+（λ+1）y²-（k₁+k₂）xy-（k₁k₂a+k₁k₂b+λ）x+（k₁a+k₂b）y+k₁k₂ab=0．
由圓的方程可知，此方程中xy項(xiàng)必為0，故得k₁=-k₂，
設(shè)k₁=-k₂=k≠0，于是l、m方程分別為y=k（x-a）與y=-k（x-b）．
消去k，得2x-（a+b）=0，（y≠0）．
∴所求軌跡方程為2x-（a+b）=0，（y≠0）．
故答案為：2x-（a+b）=0，（y≠0）．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程的求法，考查圓的方程，體現(xiàn)了整體運(yùn)算思想方法，利用圓系是解題的關(guān)鍵，是中檔題．