Question

已知在遞增等差數(shù)列{a_n}中，前三項(xiàng)的和為9，前三項(xiàng)的積為15，{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2ⁿ⁺¹-2．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式； 
（2）設(shè)c_n=

1

anan+1

，求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)遞增等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用前三項(xiàng)的和為9，前三項(xiàng)的積為15，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a₁+a₁+d+a₁+2d=9，a₁（a₁+d）（a₁+2d）=15，
{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2ⁿ⁺¹-2．b₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）c_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)遞增等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵前三項(xiàng)的和為9，前三項(xiàng)的積為15，
∴a₁+a₁+d+a₁+2d=9，
a₁（a₁+d）（a₁+2d）=15，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2ⁿ⁺¹-2．
∴b₁=S₁=2²-2=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ．
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立．
∴b_n=2ⁿ．
（2）c_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．