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【題目】已知函數，其中為自然對數的底數.

（1）設函數（其中為的導函數），判斷在上的單調性；

（2）若函數在定義域內無零點，試確定正數的取值范圍.

【答案】(1) 在上單調遞增.(2).

【解析】

（1）先分析得到，即得函數在上的單調性；（2）先利用導數求出

，再對a分三種情況討論，討論每一種情況下的零點情況得解.

（1）因為，則，

，

∴，

∴在上單調遞增.

（2）由知，

由（1）知在上單調遞增，且，可知當時，，

則有唯一零點，設此零點為，

易知時，，單調遞增；時，，單調遞減，

故，其中.

令，

則，

易知在上恒成立，所以，在上單調遞增，且.

①當時，，由在上單調遞增知，

則，由在上單調遞增，，所以，故在上有零點，不符合題意；

②當時，，由的單調性知，則，此時有一個零點，不符合題意；

③當時，，由的單調性知，則，此時沒有零點.

綜上所述，當無零點時，正數的取值范圍是.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若，，且存在不相等的實數，，使得，求證：且.

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【題目】在中，邊，，所在直線的方程分別為，，.

（1）求邊上的高所在的直線方程；

（2）若圓過直線上一點及點，當圓面積最小時，求其標準方程.

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【題目】某公司近年來科研費用支出萬元與公司所獲得利潤萬元之間有如下的統計數據：

x

2

3

4

5

Y

18

27

32

35

（1）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；

（2）試根據（1）求出的線性回歸方程，預測該公司科研費用支出為10萬元時公司所獲得的利潤．

參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程的系數公式：

參考數據：2×18+3×27+4×32+5×35=420

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【題目】△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為

（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長.

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【題目】已知橢圓的左、右頂點分別為，長軸長為4，離心率為.過右焦點的直線交橢圓于兩點（均不與重合），記直線的斜率分別為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在常數，當直線變動時，總有成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）當存在三個不同的零點時，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某商場舉行優(yōu)惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種，

方案一：每滿200元減50元；

方案二：每滿200元可抽獎一次．具體規(guī)則是依次從裝有3個紅球、l個白球的甲箱，裝有2個紅球、2個白球的乙箱，以及裝有1個紅球、3個白球的丙箱中各隨機摸出1個球，所得結果和享受的優(yōu)惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區(qū)別）

紅球個數

3

2

1

0

實際付款

半價

7折

8折

原價

（1）若兩個顧客都選擇方案二，各抽獎一次，求至少一個人獲得半價優(yōu)惠的概率；

（2）若某顧客購物金額為320元，用所學概率知識比較哪一種方案更劃算？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）設曲線和交于，兩點，點，若，，成等比數列，求的值.

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