【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，，且存在不相等的實(shí)數(shù)，，使得，求證：且.

【答案】(1)見證明；(2)見證明

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由存在不相等的實(shí)數(shù)，，使得矛盾，得到，再由，轉(zhuǎn)化為證明，轉(zhuǎn)化為證明，利用換元法和導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)，可得，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，所以，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，，所以，

故函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，

解得或，，

解得，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

在區(qū)間和區(qū)間上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

在區(qū)間和區(qū)間上單調(diào)遞增.

（2）由題知，則.

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，

與存在不相等的實(shí)數(shù)，，使得矛盾，所以.

由，得，

所以，不妨設(shè)，

因?yàn)?/span>，所以，

欲證，只需證，

只需證，

令，，等價(jià)于證明，即證，

令，，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，

從而得證，于是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】謝爾賓斯基三角形（Sierpinski triangle）是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出.在一個(gè)正三角形中，挖去一個(gè)“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”，我們用白色三角形代表挖去的部分，黑色三角形為剩下的部分，我們稱此三角形為謝爾賓斯基三角形.若在圖（3）內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自謝爾賓斯基三角形的概率是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】工廠抽取了在一段時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)的一批產(chǎn)品，測(cè)量一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）計(jì)算該樣本的平均值，方差；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）

（2）若質(zhì)量指標(biāo)值在之內(nèi)為一等品.

（i）用樣本估計(jì)總體，問該工廠一天生產(chǎn)的產(chǎn)品是否有以上為一等品？

（ii）某天早上、下午分別抽檢了50件產(chǎn)品，完成下面的表格，并根據(jù)已有數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認(rèn)為一等品率與生產(chǎn)時(shí)間有關(guān)？

一等品個(gè)數(shù)

非一等品個(gè)數(shù)

總計(jì)

早上

36

50

下午

26

50

總計(jì)

附：.

0.25

0.15

0.10

0.050

0.010

0.001

1.323

2.072

2.706

3.841

6.635

10.828

參考數(shù)據(jù)：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分，（1）小問5分，（2）小問7分）

如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且

（1）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）若求橢圓的離心率

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性

（2）函數(shù)，且．若在區(qū)間（0，2）內(nèi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a＞0，且a≠1．命題P：函數(shù)f（x）＝logax在（0，+∞）上為增函數(shù)；命題Q：函數(shù)g（x）＝x2﹣2ax+4有零點(diǎn)．

（1）若命題P，Q滿足P真Q假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）命題S：函數(shù)y＝f（g（x））在區(qū)間[2，+∞）上值恒為正數(shù)．若命題S為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著手機(jī)的發(fā)展，“微信”逐漸成為人們支付購物的一種形式.某機(jī)構(gòu)對(duì)“使用微信支付”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取了50人，他們年齡的頻數(shù)分布及對(duì)“使用微信支付”贊成人數(shù)如下表.

年齡

（單位：歲）

，

，

，

，

，

，

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

贊成人數(shù)

5

10

12

7

2

1

（Ⅰ）若以“年齡45歲為分界點(diǎn)”，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“使用微信支付”的態(tài)度與人的年齡有關(guān)；

年齡不低于45歲的人數(shù)

年齡低于45歲的人數(shù)

合計(jì)

贊成

不贊成

合計(jì)

（Ⅱ）若從年齡在的被調(diào)查人中按照贊成與不贊成分層抽樣，抽取5人進(jìn)行追蹤調(diào)查，在5人中抽取3人做專訪，求3人中不贊成使用微信支付的人數(shù)的分布列和期望值.

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】記焦點(diǎn)在同一條軸上且離心率相同的橢圓為“相似橢圓”.已知橢圓，以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)作相似橢圓.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)，試判斷的面積是否為定值(為坐標(biāo)原點(diǎn))？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）設(shè)函數(shù)（其中為的導(dǎo)函數(shù)），判斷在上的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)無零點(diǎn)，試確定正數(shù)的取值范圍.

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