【題目】已知橢圓的左、右頂點分別為,長軸長為4,離心率為.過右焦點的直線交橢圓于兩點(均不與重合),記直線的斜率分別為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存在常數(shù),當(dāng)直線變動時,總有成立?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)存在常數(shù)使得恒成立.
【解析】
(Ⅰ)由題意由題知解得,即可求得橢圓方程;(Ⅱ)根據(jù)橢圓的準(zhǔn)線方程,設(shè)出直線l的方程,代入橢圓方程,利用韋達定理即可求得C及D,存在λ,使得k1=λk恒成立.
(Ⅰ)由題知解得
所以求橢圓E的方程為.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A(﹣2,0),B(2,0),
當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=1.
由解得或
得或;均有.
猜測存在.
當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=k(x﹣1),C(x1,y1),D(x2,y2).
由得(4k2+3)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0.
則
故
0.
所以存在常數(shù)使得恒成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a>0,且a≠1.命題P:函數(shù)f(x)=logax在(0,+∞)上為增函數(shù);命題Q:函數(shù)g(x)=x2﹣2ax+4有零點.
(1)若命題P,Q滿足P真Q假,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)命題S:函數(shù)y=f(g(x))在區(qū)間[2,+∞)上值恒為正數(shù).若命題S為真命題,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=AD=1,CD=2,若將△BCD沿著BD折起至△BC'D,使得AD⊥BC'.
(1)求證:平面C'BD⊥平面ABD;
(2)求C'D與平面ABC'所成角的正弦值;
(3)M為BD中點,求二面角M﹣AC'﹣B的余弦值.
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【題目】已知函數(shù)=2cos(ωx)(ω>0)滿足:f()=f(),且在區(qū)間(,)內(nèi)有最大值但沒有最小值,給出下列四個命題:P1:在[0,2π]上單調(diào)遞減;P2:的最小正周期是4π;P3:的圖象關(guān)于直線x對稱;P4:的圖象關(guān)于點(,0)對稱.其中的真命題是( )
A.P1,P2B.P2,P4C.P1,P3D.P3,P4
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【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)設(shè)函數(shù)(其中為的導(dǎo)函數(shù)),判斷在上的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)無零點,試確定正數(shù)的取值范圍.
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【題目】某學(xué)校組織高一、高二年級學(xué)生進行了“紀(jì)念建國70周年”的知識競賽.從這兩個年級各隨機抽取了40名學(xué)生,對其成績進行分析,得到了高一年級成績的頻率分布直方圖和高二年級成績的頻數(shù)分布表.
(Ⅰ)若成績不低于80分為“達標(biāo)”,估計高一年級知識競賽的達標(biāo)率;
(Ⅱ)在抽取的學(xué)生中,從成績?yōu)閇95,100]的學(xué)生中隨機選取2名學(xué)生,代表學(xué)校外出參加比賽,求這2名學(xué)生來自于同一年級的概率;
(Ⅲ)記高一、高二兩個年級知識競賽的平均分分別為,試估計的大小關(guān)系.(只需寫出結(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線E的極坐標(biāo)方程為4(ρ2-4)sin2θ=(16-ρ2)cos2θ,以極軸為x軸的非負半軸,極點O為坐標(biāo)原點,建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)寫出曲線E的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點P為曲線E上動點,點M為線段OP的中點,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),求點M到直線l的距離的最大值.
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【題目】已知,分別為雙曲線的左、右焦點,點P是以為直徑的圓與C在第一象限內(nèi)的交點,若線段的中點Q在C的漸近線上,則C的兩條漸近線方程為__________.
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【題目】某商場從2018年1月份起的前這個月,顧客對某商品的需求總量,(單位:件)與x的關(guān)系近似地滿足(其中,且),該商品第x月的進貨單價(單位:元)與x的近似關(guān)系是.
(1)寫出2018年第x月的需求量(單位:件)與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該商品每件的售價為185元,若不計其他費用且每月都能滿足市場需求,試問該商場2018年第幾個月銷售該商品的月利潤最大,最大月利潤為多少元?
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