Question

1．已知直線l的方程為x+my-2m-1=0，m∈R且m≠0．
（1）若直線l在x軸，y軸上的截距之和為6，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）設(shè)直線l與x軸，y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB面積最小時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）令x=0，得y的值，令y=0，得x的值，又已知直線l在x軸，y軸上的截距之和，列出方程，求解方程即可得實(shí)數(shù)m的值；
（2）方法一：由（1）得A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，又已知直線l與x軸，y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，則可得不等式組，求解得m＞0，再由三角形的面積公式結(jié)合基本不等式即可求得m的值，則直線l的方程可求．
方法二：由x+my-2m-1=0，得（x-1）+m（y-2）=0，列出方程組，求解即可得x，y的值，求出直線l過(guò)定點(diǎn)P（1，2），再設(shè)A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0），則直線l的方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}=1（a＞0，b＞0）$，把點(diǎn)P（1，2）代入直線方程，得$\frac{1}{a}+\frac{2}=1$，由基本不等式得$\frac{1}{a}+\frac{2}≥2\sqrt{\frac{2}{ab}}$，ab≥8，則可求出當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，直線l的方程．

解答 解：（1）令x=0，得$y=2+\frac{1}{m}$．
令y=0，得x=2m+1．                        
由題意知，$2m+1+2+\frac{1}{m}=6$．
即2m²-3m+1=0，
解得$m=\frac{1}{2}$或m=1；                        
（2）方法一：
由（1）得 $A（2m+1，0），B（0，2+\frac{1}{m}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}2m+1＞0\\ 2+\frac{1}{m}＞0.\end{array}\right.$解得m＞0．
${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{AO}|•|{BO}|$=$\frac{1}{2}|{2m+1}|•|{2+\frac{1}{m}}|=\frac{1}{2}（2m+1）（2+\frac{1}{m}）$
=$（m+\frac{1}{2}）（2+\frac{1}{m}）$=$2+2m+\frac{1}{2m}≥2+2=4$．
當(dāng)且僅當(dāng)$2m=\frac{1}{2m}$，即$m=\frac{1}{2}$時(shí)，取等號(hào)．       
此時(shí)直線l的方程為2x+y-4=0．                    
方法二：
由x+my-2m-1=0，得（x-1）+m（y-2）=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}x-1=0\\ y-2=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$．
∴直線l過(guò)定點(diǎn)P（1，2）．
設(shè)A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0），
則直線l的方程為：$\frac{x}{a}+\frac{y}=1（a＞0，b＞0）$．
將點(diǎn)（1，2）代入直線方程，得$\frac{1}{a}+\frac{2}=1$，
由基本不等式得$\frac{1}{a}+\frac{2}≥2\sqrt{\frac{2}{ab}}$，ab≥8．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{a}=\frac{2}$，即a=2，b=4時(shí)，取等號(hào)．
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}ab≥4$，
當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，直線l的方程為2x+y-4=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線的一般式方程，考查了基本不等式的運(yùn)用，是中檔題．