Question

6．已知f（x）=sinx+$\frac{x^3}{6}$-mx（m≥0）．
（1）若f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)a≥1時(shí)，?x∈[0，+∞）不等式sinx-cosx≤e^ax-2是否恒成立？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為不等式e^ax-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1≥0對x∈[0，+∞）恒成立，構(gòu)造函數(shù)M（x）=e^x-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答 解：（1）由題意得f′（x）=cosx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-m，
設(shè)g（x）=cosx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-m，則g′（x）=-sinx+x，
令h（x）=-sinx+x，則h′（x）=-cosx+1≥0，
故h（x）在[0，+∞）遞增，故g′（x）≥g′（0）=0，
故g（x）在[0，+∞）遞增，即g（x）≥g（0）=1-m，
故要使f（x）在[0，+∞）遞增，則1-m≥0，即m≤1，
故m的范圍是m≤1；
（2）由（1）可得，x∈[0，+∞）時(shí)，sinx≤x且cosx+$\frac{{x}^{3}}{6}$$\frac{{x}^{2}}{2}$-m≥1-m，
即cosx≥1-$\frac{{x}^{2}}{2}$，
故sinx-cosx≤x-（1-$\frac{{x}^{2}}{2}$），
故若?x∈[0，+∞），不等式x-（1-$\frac{{x}^{2}}{2}$）≤e^ax-2恒成立，
則不等式sinx-cosx≤e^ax-2，?x∈[0，+∞）恒成立，
要使不等式x-（1-$\frac{{x}^{2}}{2}$）≤e^ax-2，?x∈[0，+∞）恒成立，
即使不等式e^ax-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1≥0對x∈[0，+∞）恒成立，
構(gòu)造函數(shù)M（x）=e^x-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1，
則M′（x）=e^x-x-1，令m（x）=e^x-x-1，
則m′（x）=e^x-1，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，m′（x）≥0，故m（x）在[0，+∞）遞增，
故m（x）≥m（0）=0，故M′（x）＞0，即M（x）在[0，+∞）遞增，
故M（x）≥M（0）=0，故e^x-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1≥0恒成立，
當(dāng)a≥1時(shí)，e^ax≥e^x，即?x∈[0，+∞）不等式e^ax-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1≥0恒成立，
故a≥1時(shí)，?x∈[0，+∞）不等式sinx-cosx≤e^ax-2恒成立．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．