Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若S₂=4，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式及S_n；
（2）令b_n=log₃a_n+1，T_n=$\frac{1}{_{1}_{3}}$+$\frac{1}{_{2}_{4}}$+$\frac{1}{_{3}_{5}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$（n∈N^*），求證：T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立方程組關(guān)系，求出首項，利用數(shù)列的遞推關(guān)系證明數(shù)列{a_n}是公比q=3的等比數(shù)列，即可求通項公式a_n，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式計算即可；
（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)化簡b_n=n，繼而得到$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），裂項求和并放縮即可證明

解答 解：（1）∵S₂=4，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*，
∴a₁+a₂=4，a₂=2a₁+1，解得a₁=1，a₂=3．
n≥2時，a_n=2S_n-1+1，可得：a_n+1-a_n=2S_n+1-（2S_n-1+1），
化為：a_n+1=3a_n．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為3，首項為1．
∴a_n=3^n-1．
∴S_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，
（2）b_n=log₃a_n+1=log₃3ⁿ=n，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{_{1}_{3}}$+$\frac{1}{_{2}_{4}}$+$\frac{1}{_{3}_{5}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$，
即：T_n＜$\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用以及數(shù)列求和的計算，根據(jù)條件建立方程組以及利用方程組法證明列{a_n}是等比數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．求出過程中使用了裂項求和和放縮法證明不等式成立，屬于中檔題