Question

20．已知函數(shù)f（x）=|ax²-1|+x，a∈R．
（Ⅰ）若a=2，且關(guān)于x的不等式f（x）-m≤0在R上有解，求m的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，2]上不單調(diào)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知將函數(shù)解析式去絕對值，根據(jù)函數(shù)的圖象及其單調(diào)性可求函數(shù)的最小值，由題意可求m的最小值．
（Ⅱ）分類討論a=0，a＜0，a＞0三種情況，分別求出對應(yīng)的函數(shù)解析式，求出單調(diào)區(qū)間，從而可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，2]上不單調(diào)需滿足的條件，進而可求a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，$f（x）=|2{x^2}-1|+x=\left\{\begin{array}{l}2{x^2}+x-1，\;\;|x|≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\-2{x^2}+x+1，\;\;|x|＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}.\end{array}\right.$，…1 分
結(jié)合圖象可知，
函數(shù)在$（-∞，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}），（\frac{1}{4}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$上單調(diào)遞減，在$（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{1}{4}），（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞）$上單調(diào)遞增，$f{（x）_{min}}=f（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…3 分
由已知得，m≥f（x）有解，只要m≥f（x）_min，
所以：$m≥-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
即：m的最小值為$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…5 分
（Ⅱ）（1）若a=0，則f（x）=x+1在[-3，2]上單調(diào)遞增，不滿足條件；…（6分）
（2）若a＜0，則ax²-1＜0，
所以：$f（x）=-a{x^2}+1+x=-a{（x-\frac{1}{2a}）^2}+1+\frac{1}{4a}$，
在$（-∞，\frac{1}{2a}）$上遞減，在$（\frac{1}{2a}，+∞）$上遞增，
故f（x）在[-3，2]上不單調(diào)等價于：$\left\{{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{1}{2a}＞-3}\end{array}}\right.$解得$a＜-\frac{1}{6}$；…（8分）
（3）若a＞0，則$f（x）=\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+x-1，\;x≤-\frac{1}{{\sqrt{a}}}或x≥\frac{1}{{\sqrt{a}}}\\-a{x^2}+x+1，\;-\frac{1}{{\sqrt{a}}}＜x＜\frac{1}{{\sqrt{a}}}\end{array}\right.$，…（9分）
結(jié)合圖象，有以下三種情況：
①當(dāng)$\frac{1}{2a}＞\frac{1}{{\sqrt{a}}}$，即$0＜a＜\frac{1}{4}$時，
函數(shù)f（x）在$[-\frac{1}{2a}，+∞）$上單調(diào)遞增，在$（-∞，-\frac{1}{2a}]$上單調(diào)遞減，
f（x）在[-3，2]上不單調(diào)等價于$\left\{{\begin{array}{l}{0＜a＜\frac{1}{4}}\\{-\frac{1}{2a}＞-3}\end{array}}\right.$，解得 $\frac{1}{6}＜a＜\frac{1}{4}$；…11 分
②當(dāng)$\frac{1}{2a}＜\frac{1}{{\sqrt{a}}}$，即$a＞\frac{1}{4}$時，
函數(shù)在$（-∞，-\frac{1}{{\sqrt{a}}}），（\frac{1}{2a}，\frac{1}{{\sqrt{a}}}）$上單調(diào)遞減，在$（-\frac{1}{{\sqrt{a}}}，\frac{1}{2a}），（\frac{1}{{\sqrt{a}}}，+∞）$上單調(diào)遞增，
由于$-3＜\frac{1}{{\sqrt{a}}}＜2$恒成立，
所以f（x）在區(qū)間[-3，2]上不單調(diào)成立，即$a＞\frac{1}{4}$符合題意；…13 分
③當(dāng)$a=\frac{1}{4}$時，
f（x）在（-∞，-2）上遞減，在（-2，+∞）上遞增，
因此在[-3，2]上不單調(diào)，符合題意…14 分
綜上所述，$a＜-\frac{1}{6}$或$a＞\frac{1}{6}$…15 分

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．