Question

15．矩形ABCD中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，將矩形沿對(duì)角線AC折起，使B點(diǎn)與P點(diǎn)重合，點(diǎn)P在平面ACD內(nèi)的射影M正好在AD上．
（Ⅰ）求證CD⊥PA；
（Ⅱ）求二面角P-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出PM⊥CD，CD⊥AD，從而CD⊥平面PAD，由此能證明CD⊥PA．
（II）作MN⊥AC，垂足為N，連接PN，推導(dǎo)出∠PNM為所求二面角的平面角，由此能求出所求二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵M(jìn)是P點(diǎn)在平面AC的內(nèi)的射影，
∴PM⊥平面ACD（1分）
∴PM⊥CD，又ABCD是矩形，
∴CD⊥AD，（3分）
∴CD⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，∴CD⊥PA（5分）
解：（II）作MN⊥AC，垂足為N，連接PN，由PM⊥平面ACD，
得PM⊥AC，∴AC⊥PN，
∴∠PNM為所求二面角的平面角．  （7分）
設(shè)AM=a，在△rtACM中，∠MAC=30°，AC=2
∴$C{M^2}={a^2}+4-4×a×cos{30°}={a^2}-2\sqrt{3}a+4$
在rt△PMA中，PM²=1-a²
在rt△PMC中，由PC²=PM²+MC²得$a=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
從而，$PM=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$（10分）
在rt△PAC中，$PN=\frac{PA×PC}{AC}=\frac{{1×\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
在rt△PMN中，$cos∠PNM=\frac{{\sqrt{P{N^2}-P{M^2}}}}{PN}$=$\frac{\sqrt{\frac{3}{4}-\frac{6}{9}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
即所求二面角的余弦值為$\frac{1}{3}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．