Question

【題目】已知函數(shù),且.

（1）若函數(shù)在上恒有意義，求的取值范圍；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且最大值為？若存在求出的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)在上恒有意義,則在上恒成立.討論對(duì)稱軸的位置,即可求得的取值范圍.

（2）討論與兩種情況,結(jié)合復(fù)函函數(shù)單調(diào)性即可判斷是否符合單調(diào)遞增.再根據(jù)最大值為,代入的值,解方程即可求解.

（1）函數(shù)在上恒有意義

即在上恒成立

令

對(duì)稱軸為,開(kāi)口向上

當(dāng)時(shí),只需,即,解得,所以

當(dāng)時(shí),只需,即,解得,所以

當(dāng)時(shí), 只需,即,解得,所以

綜上可知, 的取值范圍為

（2）函數(shù)對(duì)稱軸為

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知:

當(dāng)時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù), 在上為單調(diào)遞增函數(shù),所以在上單調(diào)遞減,不合題意

當(dāng)時(shí), 為單調(diào)遞增函數(shù), 若在上單調(diào)遞增,則在上為單調(diào)遞增函數(shù).

所以由對(duì)稱軸在左側(cè)可得

因?yàn)樽畲笾禐?/span>2,則

即

即,化簡(jiǎn)可得

解得或

因?yàn)?/span>

所以

當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且最大值為