【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值;
(2)令,()其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng),,方程有唯一實(shí)數(shù)解,求正數(shù)的值.
【答案】
(3)因?yàn)榉匠?/span>有唯一實(shí)數(shù)解,
所以有唯一實(shí)數(shù)解,
設(shè),
則.令,.
因?yàn)?/span>,,所以(舍去),
,
當(dāng)時(shí),,在(0,)上單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,在(,+∞)單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí),=0,取最小值.(12′)
【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即得函數(shù)的最大值.(2)由題得,.再求右邊二次函數(shù)的最大值即得.(3)轉(zhuǎn)化為有唯一實(shí)數(shù)解,設(shè),再研究函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn)得解.
(1)依題意,知的定義域?yàn)?/span>,
當(dāng)時(shí),,
,
令,解得.(∵)
因?yàn)?有唯一解,所以,當(dāng)時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞減,
所以的極大值為,此即為最大值.
(2),,則有,在上恒成立,
所以,.
當(dāng)時(shí),取得最大值,所以.
(3)因?yàn)榉匠?/span>有唯一實(shí)數(shù)解,
所以有唯一實(shí)數(shù)解,
設(shè),
則,令,,
因?yàn)?/span>,,所以(舍去),,
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,取最小值.
則,即,
所以,因?yàn)?/span>,所以(*)
設(shè)函數(shù),因?yàn)楫?dāng)時(shí),
是增函數(shù),所以至多有一解,
因?yàn)?/span>,所以方程(*)的解為,即,解得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高中嘗試進(jìn)行課堂改革.現(xiàn)高一有兩個(gè)成績(jī)相當(dāng)?shù)陌嗉?jí),其中班級(jí)參與改革,班級(jí)沒(méi)有參與改革.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間,對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)效果進(jìn)行檢測(cè),規(guī)定成績(jī)提高超過(guò)分的為進(jìn)步明顯,得到如下列聯(lián)表.
進(jìn)步明顯 | 進(jìn)步不明顯 | 合計(jì) | |
班級(jí) | |||
班級(jí) | |||
合計(jì) |
(1)是否有的把握認(rèn)為成績(jī)進(jìn)步是否明顯與課堂是否改革有關(guān)?
(2)按照分層抽樣的方式從班中進(jìn)步明顯的學(xué)生中抽取人做進(jìn)一步調(diào)查,然后從人中抽人進(jìn)行座談,求這人來(lái)自不同班級(jí)的概率.
附:,當(dāng)時(shí),有的把握說(shuō)事件與有關(guān).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù).
(Ⅰ)解不等式: ;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象與軸圍成一個(gè)三角形,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí), .
(1)直接寫出函數(shù)的增區(qū)間(不需要證明);
(2)求出函數(shù), 的解析式;
(3)若函數(shù), ,求函數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地?cái)M規(guī)劃種植一批芍藥,為了美觀,將種植區(qū)域(區(qū)域I)設(shè)計(jì)成半徑為1km的扇形,中心角().為方便觀賞,增加收入,在種植區(qū)域外圍規(guī)劃觀賞區(qū)(區(qū)域II)和休閑區(qū)(區(qū)域III),并將外圍區(qū)域按如圖所示的方案擴(kuò)建成正方形,其中點(diǎn),分別在邊和上.已知種植區(qū)、觀賞區(qū)和休閑區(qū)每平方千米的年收入分別是10萬(wàn)元、20萬(wàn)元、20萬(wàn)元.
(1)要使觀賞區(qū)的年收入不低于5萬(wàn)元,求的最大值;
(2)試問(wèn):當(dāng)為多少時(shí),年總收入最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求方程的解;
(2)若方程在上有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),若對(duì)任意的,總存在,使成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且.
(1)若函數(shù)在上恒有意義,求的取值范圍;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),且最大值為?若存在求出的值,若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】是指大氣中空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物.我國(guó)標(biāo)準(zhǔn)采用世界衛(wèi)生組織設(shè)定的最寬限值,即日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí);在35微克/立方米~75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí);在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).某城市環(huán)保局從該市市區(qū)2017年上半年每天的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取18天的數(shù)據(jù)作為樣本,將監(jiān)測(cè)值繪制成莖葉圖如下圖所示(十位為莖,個(gè)位為葉).
(1)求這18個(gè)數(shù)據(jù)中不超標(biāo)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差;
(2)在空氣質(zhì)量為一級(jí)的數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù)據(jù),求其中恰有一個(gè)為日均值小于30微克/立方米的數(shù)據(jù)的概率;
(3)以這天的日均值來(lái)估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況,則一年(按天計(jì)算)中約有多少天的空氣質(zhì)量超標(biāo).
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