Question

14．已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直且SA=SB=SC=1，則該三棱錐的外接球的體積為$\frac{\sqrt{3}}{2}π$．

Answer 1

分析 三棱錐擴(kuò)展為四棱柱（長(zhǎng)方體），兩個(gè)幾何體的外接球是同一個(gè)球，求出四棱錐的對(duì)角線的長(zhǎng)度就是外接球的直徑，即可求解半徑．

解答 解：三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA=SB=SC=1，則該三棱錐的外接球，
就是三棱錐擴(kuò)展為長(zhǎng)方體的外接球，所以長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度為：$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{3}$，
所以該三棱錐的外接球的半徑r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．三棱錐的外接球的體積為$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}π$
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球內(nèi)接多面體，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，球的半徑的求法，考查空間想象能力、計(jì)算能力，屬于中檔題．