Question

已知直線l：3x-4y+2=0，A（2，-3）B（1，0）
（1）設(shè)過A于l平行的直線為m，過B于l垂直的直線為n，求兩直線方程
（2）若⊙C與l，m，n三直線都相切，且過坐標(biāo)原點(diǎn)，求圓的方程
（3）若x，y滿足圓C方程，求下列代數(shù)式的取值范圍

y-2

x

，x²+y²+2x+2，3x+4y．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）利用直線平行的充要條件和垂直的充要條件直接求出結(jié)果．
（2）利用直線和圓相切利用點(diǎn)到直線的距離求出結(jié)果．
（3）利用斜率和兩點(diǎn)間的距離及直線的截距建立等量關(guān)系求出結(jié)果．

解答： 解：（1）已知直線l：3x-4y+2=0，
設(shè)過點(diǎn)A（2，-3）與l平行的直線方程為：3x-4y+k=0
則把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線求得：k=-18
則：直線m的方程為：3x-4y-18=0
設(shè)過B（1，0）與l垂直的直線為n為：4x+3y+k=0
則把點(diǎn)B（1，0）的坐標(biāo)代入直線方程求得：k=-4
所以：直線n的方程為：4x+3y-4=0
（2）設(shè)圓的方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²
由于：該圓與三條直線都相切，又由于直線l和直線m平行
則，兩直線的距離是圓的直徑．
則：2r=

|2-(-18)|

42+32

=4
解得：r=2．
另外圓心經(jīng)過到這兩平行線距離相等的直線上
則：該直線的方程為：3x-4y-8=0
并且圓經(jīng)過原點(diǎn)，則：

a2+b2=4 3a-4b-8=0

解得：

a= 48 25 b=- 14 25

則：(x-

48

25

)2+(y+

14

25

)2=4．
（3）由（2）得到：圓的方程為：(x-

48

25

)2+(y+

14

25

)2=4
則①設(shè)k=

y-2

x

則：利用圓心到直線的距離小于后等于半徑得：
解得：k₁≤k≤k₂
②設(shè)z=x²+y²+2x+2，則z=(

(x+1)2+y2

)2+1
進(jìn)一步利用圓心到點(diǎn)（-1，0）的距離d=

2 1073

25

則dmax=

2 1073

25

+2+1=

2 1073

25

+3，dmin=

2 1073

25

-2+1=

2 1073

25

-1
③設(shè)z=3x+4y，則：利用直線3x+4y-z=0與圓相切，求出z的最大和之小值
即：

|4-z|

5

=2
解得：z=-6或14

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：直線垂直和平行的充要條件，直線與圓相切利用圓心到直線的距離等于半徑．及相關(guān)的恒等變換問題．屬于中等題型．