Question

4．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿(mǎn)足${a_1}=1，{a_{n+1}}=1-\frac{1}{{4{a_n}}}$，${b_n}=\frac{2}{{2{a_n}-1}}$，其中n∈N₊．
（I）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)${c_n}=\frac{{4{a_n}}}{n+1}$，求數(shù)列{c_nc_n+2}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．

Answer 1

分析 （I）作差利用遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：∵${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{2}{{2{a_{n+1}}-1}}-\frac{2}{{2{a_n}-1}}$=$\frac{2}{{2（1-\frac{1}{{4{a_n}}}）-1}}-\frac{2}{{2{a_n}-1}}$
=$\frac{{4{a_n}}}{{2{a_n}-1}}-\frac{2}{{2{a_n}-1}}=2$，
∴數(shù)列{b_n}是公差為2的等差數(shù)列，
又${b_1}=\frac{2}{{2{a_1}-1}}=2$，∴b_n=2+（n-1）×2=2n，
∴$2n=\frac{2}{{2{a_n}-1}}$，解得${a_n}=\frac{n+1}{2n}$．         …（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得${c_n}=\frac{{4×\frac{n+1}{2n}}}{n+1}=\frac{2}{n}$，
∴${c_n}{c_{n+2}}=\frac{2}{n}×\frac{2}{n+2}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴數(shù)列{c_nc_n+2}的前n項(xiàng)和為${T_n}=2[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$2[1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}]=3-\frac{4n+6}{（n+1）（n+2）}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．