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4.已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=1an+1=114anbn=22an1,其中n∈N+
(I)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項公式;
(II)設cn=4ann+1,求數(shù)列{cncn+2}的前n項和為Tn

分析 (I)作差利用遞推關系、等差數(shù)列的通項公式即可得出.
(II)利用“裂項求和”方法即可得出.

解答 (Ⅰ)證明:∵bn+1bn=22an+1122an1=22114an122an1
=4an2an122an1=2,
∴數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列,
b1=22a11=2,∴bn=2+(n-1)×2=2n,
2n=22an1,解得an=n+12n.         …(6分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可得cn=4×n+12nn+1=2n,
cncn+2=2n×2n+2=21n1n+2,
∴數(shù)列{cncn+2}的前n項和為Tn=2[113+1214+1315++1n11n+1+1n1n+2]
=2[1+121n+11n+2]=34n+6n+1n+2.…(12分)

點評 本題考查了遞推關系、等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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