Question

3．下列四個結論：
①若x＞0，則x＞sinx恒成立；   
②“若am²＜bm²，則a＜b”的逆命題為真命題
③?m∈R，使f（x）=（m-1）x${\;}^{{m}^{2}-4m+3}$是冪函數，且在（-∞，0）上單調遞減
④對于命題p：?x∈R使得x²+x+1＜0，則￢p：?x∈R，均有x²+x+1＞0
其中正確結論的個數是（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①設f（x）=x-sinx，x＞0，利用導數判斷f（x）是單調增函數；
得出f（x）＞f（0），即x＞sinx；   
②寫出它的逆命題并判斷真假性；
③求出m=2時f（x）冪函數，且在（-∞，0）上單調遞減；
④寫出命題p的否定￢p即可．

解答 解：對于①，設f（x）=x-sinx，其中x＞0，
∴f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上是單調增函數；
∴f（x）＞f（0）=0，
∴x-sinx＞0，
∴x＞sinx，
即x＞0時，x＞sinx恒成立，①正確；   
對于②，“若am²＜bm²，則a＜b”的逆命題是：
“若a＜b，則am²＜bm²”，是假命題，
m=0時命題不成立，∴②錯誤；
對于③，令m-1=1，得m=2，此時f（x）=x^-1是冪函數，
且在（-∞，0）上單調遞減，∴③正確；
對于④，命題p：?x∈R使得x²+x+1＜0，
則￢p：?x∈R，均有x²+x+1≥0，∴④錯誤．
綜上，正確的結論是①③，共2個．
故選：B．

點評 本題考查了命題真假的判斷問題，也考查了函數的性質與應用以及四種命題之間的關系問題，是綜合題．