Question

20．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，過右焦點F的直線與兩條漸近線分別交于點A，B，且與其中一條漸近線垂直，若△OAB的面積為$\frac{16}{3}$，其中O為坐標原點，則雙曲線的焦距為2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，設兩條漸近線的夾角為θ，由兩直線的夾角公式，可得tanθ=tan∠AOB，求出F到漸近線y=$\frac{a}$x的距離為b，即有|OB|=a，△OAB的面積可以表示為$\frac{1}{2}$a•atanθ，結合條件可得a，b的關系，再由離心率公式即可計算得到．

解答 解：由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，a²+b²=c²，
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
設兩條漸近線的夾角為θ，
則tanθ=tan∠AOB=$\frac{\frac{a}-（-\frac{a}）}{1+\frac{a}•（-\frac{a}）}$=$\frac{2ab}{{a}^{2}-^{2}}$，
設FB⊥OB，則F到漸近線y=$\frac{a}$x的距離為d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
即有|OB|=a，
則△OAB的面積可以表示為$\frac{1}{2}$•a•atanθ=$\frac{{a}^{3}b}{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{16}{3}$，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{10}$，即2c=2$\sqrt{10}$．
故答案為：2$\sqrt{10}$．

點評 本題考查雙曲線的焦距的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程和離心率公式，以及點到直線的距離公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．