Question

11．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），$g（x）=a+bx-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{3}{x^3}$，函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的圖象在交點（0，0）處有公共切線．
（1）求a，b的值；       
（2）證明：f（x）≤g（x）

Answer 1

分析 （1）（0，0）代入g（x）的解析式，可得a=0；求得f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率，再求g（x）的導數(shù)，可得切線的斜率，進而得到b的值；
（2）設出h（x）=f（x）-g（x），求得h（x）的導數(shù)，單調(diào)區(qū)間，可得最值，進而得證．

解答 （1）解：由題意得，點（0，0）在$g（x）=a+bx-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{3}{x^3}$的圖象上，
將點（0，0）代入g（x）的解析式，解得a=0．
f（x）=ln（x+1）的導數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x+1}$，
∴函數(shù)函數(shù)f（x）=ln（x+1）在點（0，0）處的切線斜率為f′（0）=1．
又g（x）的導數(shù)為g′（x）=x²-x+b，
$g（x）=a+bx-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{3}{x^3}$在點（0，0）處的切線斜率也為1，
∴g′（0）=1，解得b=1．
綜上，a=0，b=1．
（2）證明：令$h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}-x（x＞-1）$，
則h′（x）=$\frac{1}{x+1}$-x²+x-1=-$\frac{{x}^{3}}{x+1}$．
由h′（x）＞0⇒-1＜x＜0．
∴h（x）在（-1，0）上為增函數(shù)，在（0，+∞）上為減函數(shù)．
∴h_max（x）=h（0）=0⇒h（x）≤h（0）=0，
即f（x）≤g（x）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查不等式的證明，注意運用轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)的導數(shù)，求得最值是解題的關鍵，屬于中檔題．