Question

2．若一個函數(shù)恰有兩個零點，則稱這樣的函數(shù)為“雙胞胎”函數(shù)，若函數(shù)f（x）=ax-lnx+$\frac{a-1}{x}$+3（a≤0）為“雙胞胎”函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． （-1，+∞）
• B． （-∞，-1）
• C． （-1，0）
• D． （-1，0]

Answer 1

分析 對a是否為0進行討論，判斷f（x）的單調性，求出f（x）的極大值，令極大值大于零即可．

解答 解：f（x）的定義域為（0，+∞）．
f′（x）=a-$\frac{1}{x}$+$\frac{1-a}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}-x-a+1}{{x}^{2}}$．
（1）當a=0時，f（x）=-lnx-$\frac{1}{x}$+3，f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
∴當0＜x＜1時，f′（x）＞0，當x＞1時，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
且f（e^-2）=2-e²+3=5-e²＜0，f（1）=2，f（e³）=-$\frac{1}{{e}^{3}}$＜0，
∴f（x）在（0，1）和（1，+∞）上各有1個零點，符合題意．
（2）當a＜0時，令f′（x）=0得ax²-x-a+1=0，解得x=1或x=$\frac{1-a}{a}$．
∵a＜0，∴$\frac{1-a}{a}＜0$，
∴當0＜x＜1時，f′（x）＞0，當當x＞1時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
g（x）的最大值為g（1）=2a+2，
∵f（x）為雙胞胎函數(shù)，即f（x）有兩個零點，
∴2a+2＞0，又a＜0，
∴-1＜a＜0．
綜上，a的取值范圍是（-1，0]．
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)零點個數(shù)與函數(shù)極值的關系，函數(shù)單調性的判斷，屬于中檔題．