Question

8．${（{1+x+\frac{1}{x}}）^6}$的展開式中常數(shù)項為141．

Answer 1

分析 由${（{1+x+\frac{1}{x}}）^6}$=${[{1+（{x+\frac{1}{x}}）}]^6}$，兩次展開二項式，逐一分析得答案．

解答 解：將原式看做${[{1+（{x+\frac{1}{x}}）}]^6}$，
由二項式定理可得展開式的通項為${T_{r+1}}=C_6^r•{1^{6-r}}•{（{x+\frac{1}{x}}）^r}$．
又${（{x+\frac{1}{x}}）^r}$的展開式通項為${T_{m+1}}=C_r^m•{x^{r-m}}•{（{{x^{-1}}}）^m}=C_r^m•{x^{r-2m}}$，
則取常數(shù)項時r=2m，由題可知r∈{0，1，2，3，4，5，6}，m∈{0，1，2，3，4，5，6}，
則m的可能取值為0，1，2，3，對應(yīng)的r分別為0，2，4，6．
m=0，r=0時，常數(shù)項為1；
m=1，r=2時，常數(shù)項為30；
m=2，r=4時，常數(shù)項為90；
m=3，r=6時，常數(shù)項為20；
∴原式常數(shù)項為1+30+90+20=141，
故答案為：141．

點評 利用已知的二項式定理，將多項式合理組合，變形為二項式，進而再用公式逐步分析，是中檔題．