Question

18．已知三棱柱柱ABC-A₁B₁C₁，如圖所示，其中CA⊥平面ABB₁A₁，四邊形ABB₁A₁為菱形，∠AA₁B₁=60°，且AB=2AC，E為BB₁的中點，F(xiàn)為CB₁的中點．
（1）證明：平面AEF⊥平面CAA₁C₁；
（2）求二面角E一AF-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)面面垂直的判定定理證明AE⊥平面ACC₁A₁，即可．
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角E一AF-B₁的余弦值；

解答 證明：（1）∵CA⊥平面ABB₁A₁，AE?平面ABB₁A₁，
∴CA⊥AE，
∵四邊形ABB₁A₁為菱形，∠AA₁B₁=60°，
∴△AA₁B₁和△ABB₁是正三角形，
∵E為BB₁的中點，∴AE⊥BB₁，AE⊥AA₁，
∵AA₁∩CA=A，∴AE⊥平面ACC₁A₁，
∵AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面CAA₁C₁；
（2）建立以A為坐標(biāo)原點，AE，AA₁，AC分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
∵AB=2AC，E為BB₁的中點，F(xiàn)為CB₁的中點．
∴設(shè)AB=2AC=2，則AC=1，AE=$\sqrt{3}$，
則A（0，0，0），E（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，0，1），B₁（$\sqrt{3}$，1，0），F(xiàn)（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
則$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
設(shè)平面AEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{1}{2}$y+$\frac{1}{2}$z=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AE}$=$\sqrt{3}$x=0，
即x=0，y+z=0，
取$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），
平面AFB₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{1}{2}$y+$\frac{1}{2}$z=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=$\sqrt{3}$x+y=0，
令x=$\sqrt{3}$，則y=-3，z=0，
即$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-3，0），
則cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-3}{\sqrt{2}×\sqrt{3+9}}$=$\frac{-3}{\sqrt{2}×2\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∵二面角E一AF-B₁是銳二面角，
∴二面角E一AF-B₁的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題主要考查面面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐標(biāo)系利用向量法是解決空間角的常用方法．綜合性較強，運算量較大．