Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n和通項(xiàng)a_n滿足${S_n}=\frac{1}{2}（1-{a_n}）$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式并證明${S_n}＜\frac{1}{2}$；
（2）設(shè)函數(shù)$f（x）={log_{\frac{1}{3}}}x$，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），若${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_3}+…+\frac{1}{b_n}$．求T_n．

Answer 1

分析 （1）由當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=$\frac{1}{2}$（1-a_n-1），a_n=S_n-S_n-1，整理得：2a_n=-a_n+a_n-1，$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{3}$，當(dāng)n=1時(shí)，${a_1}=\frac{1}{3}$，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)${a_1}=\frac{1}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，即可求得${a_n}=\frac{1}{3}×{（\frac{1}{3}）^{n-1}}={（\frac{1}{3}）^n}$，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可知：${S_n}=\frac{{\frac{1}{3}[{1-{{（\frac{1}{3}）}^n}}]}}{{1-\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2}[{1-{{（\frac{1}{3}）}^n}}]$，由$1-{（\frac{1}{3}）^n}＜1$，則$\frac{1}{2}[{1-{{（\frac{1}{3}）}^n}}]＜\frac{1}{2}$，即可證明${S_n}＜\frac{1}{2}$；
（2）${b_n}={log_{\frac{1}{3}}}{a_1}+{log_{\frac{1}{3}}}{a_2}+…+{log_{\frac{1}{3}}}{a_n}={log_{\frac{1}{3}}}（{a_1}{a_2}…{a_n}）$=${log_{\frac{1}{3}}}{（\frac{1}{3}）^{1+2+…+n}}$=$1+2+…+n=\frac{n（1+n）}{2}$，則$\frac{1}{b_n}=\frac{2}{n（1+n）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，采用“裂項(xiàng)法”即可求得T_n．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=$\frac{1}{2}$（1-a_n-1），a_n=S_n-S_n-1，
∴${a_n}=\frac{1}{2}（1-{a_n}）-\frac{1}{2}（1-{a_{n-1}}）$=$-\frac{1}{2}{a_n}+\frac{1}{2}{a_{n-1}}$，整理得：2a_n=-a_n+a_n-1，
∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{3}$，
當(dāng)n=1時(shí)，
${S_1}={a_1}=\frac{1}{2}（1-{a_1}）$，解得：${a_1}=\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)${a_1}=\frac{1}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
∴${a_n}=\frac{1}{3}×{（\frac{1}{3}）^{n-1}}={（\frac{1}{3}）^n}$，
證明：由等比數(shù)列前n項(xiàng)公式可知：${S_n}=\frac{{\frac{1}{3}[{1-{{（\frac{1}{3}）}^n}}]}}{{1-\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2}[{1-{{（\frac{1}{3}）}^n}}]$，
∵$1-{（\frac{1}{3}）^n}＜1$，
∴$\frac{1}{2}[{1-{{（\frac{1}{3}）}^n}}]＜\frac{1}{2}$，
∴${S_n}＜\frac{1}{2}$．
（2）∵$f（x）={log_{\frac{1}{3}}}x$，
∴${b_n}={log_{\frac{1}{3}}}{a_1}+{log_{\frac{1}{3}}}{a_2}+…+{log_{\frac{1}{3}}}{a_n}={log_{\frac{1}{3}}}（{a_1}{a_2}…{a_n}）$=${log_{\frac{1}{3}}}{（\frac{1}{3}）^{1+2+…+n}}$，
=$1+2+…+n=\frac{n（1+n）}{2}$．
∵$\frac{1}{b_n}=\frac{2}{n（1+n）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}=2[{（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）}]=\frac{2n}{n+1}$，
∴T_n=$\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，求等差數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．