Question

8．若三棱錐P-ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直線PA與平面PBC所成角的正切值為$\frac{1}{2}$，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（　�。�

• A． 4π
• B． 8π
• C． 16π
• D． 32π

Answer 1

分析 如圖，取BC中點(diǎn)D，連結(jié)AD、PD，過(guò)A作AH⊥PD于D，易知AH⊥面PBC，
即∠APD就是直線PA與平面PBC所成角，由tan∠APD=$\frac{AD}{AP}=\frac{1}{2}$，得AP
以AB，AC，AP為棱的長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球，即可求出半徑．

解答 解：如圖，取BC中點(diǎn)D，連結(jié)AD、PD，
∵AB=AC，∴AD⊥BC，由因?yàn)镻A⊥面ABC，∴BC⊥面PAD，
過(guò)A作AH⊥PD于D，易知AH⊥面PBC，
∴∠APD就是直線PA與平面PBC所成角，∴tan∠APD=$\frac{AD}{AP}=\frac{1}{2}$，
∵AD=$\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$PA=\sqrt{2}$．
∵AB，AC，AP相互垂直，∴以AB，AC，AP為棱的長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐P-ABC的外接球，
∴三棱錐P-ABC的外接球的半徑R=$\frac{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}}{2}=1$，三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4πR²=4π；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三棱錐的外接球，轉(zhuǎn)化已知求出球的半徑是關(guān)鍵，屬于中檔題．