Question

4．已知直線1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-3-\frac{\sqrt{6}}{3}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為原點(diǎn)，x為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的方程為ρ=4$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）+4sinθ．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）點(diǎn)P、Q分別為直線1與曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρ²=4ρcosθ，由此能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）曲線C：（x-2）²+y²=4是以C（2，0）為圓心，半徑r=2的圓，直線1的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為x+$\sqrt{2}$y+3=0，求出圓心C（2，0）到直線l的距離d=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，由此能求出|PQ|的取值范圍．

解答 解：（1）∵曲線C的方程為ρ=4$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）+4sinθ，
∴$ρ=4\sqrt{2}（cosθcos\frac{π}{4}-sinθsin\frac{π}{4}）+4sinθ$=4cosθ．
∴ρ²=4ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4．
（2）曲線C：（x-2）²+y²=4是以C（2，0）為圓心，半徑r=2的圓，
直線1的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-3-\frac{\sqrt{6}}{3}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），
消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為x+$\sqrt{2}$y+3=0，
圓心C（2，0）到直線l的距離d=$\frac{|2+0+3|}{\sqrt{1+2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∵點(diǎn)P、Q分別為直線1與曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，
∴|PQ|的取值范圍是[$\frac{5\sqrt{3}}{3}-2$，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$+2]．

點(diǎn)評 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查線段長的取值范圍的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的互化、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想，是中檔題．