Question

20．設(shè)數(shù)集A={-1，x₁，x₂，…x_n}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2，向量集B={$\overrightarrow{a}$|$\overrightarrow{a}$=（x，y），x∈A，y∈A}．若?$\overrightarrow{{a}_{1}}$∈B，?$\overrightarrow{{a}_{2}}$∈B使得$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{{a}_{2}}$=0，則稱A具有性質(zhì)P．
（1）若a＞1，數(shù)集A={-1，1，a}，求證：數(shù)集A具有性質(zhì)P；
（2）若b＞$\sqrt{2}$，數(shù)集A={-1，1，$\sqrt{2}$，b}具有性質(zhì)P，求b的值；
（3）若數(shù)集A={-1，x₁，x₂，…x_n}（其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2）具有性質(zhì)P，x₁=1，x₂=q（q為常數(shù)，q＞1），求數(shù)列{x_k}的通項(xiàng)公式x_k（k∈N^*，k≤n）．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用新定義，結(jié)合向量垂直的條件：數(shù)量積為0，即可得證；
（2）選取$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（b，$\sqrt{2}$），A中與$\overrightarrow{{a}_{1}}$垂直的元素必有形式（-1，m）．所以b=$\sqrt{2}$m，由b＞$\sqrt{2}$，可由m=$\sqrt{2}$，從而b=2；
（3）先猜想結(jié)論：x_k=q^k-1，k=1，2，3，…，n．記A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}，k=2，3，…，n，通過反證法證明出引理：若A_k+1具有性質(zhì)P，則A_k也具有性質(zhì)P．最后用數(shù)學(xué)歸納法，可證明出x_k=q^k-1，k=1，2，3，…，n．

解答 證明：（1）由A={-1，1，a}，
可得$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（m，n）∈A，設(shè)$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（s，t）∈A，
$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{{a}_{2}}$=ms+nt，由于A中含有-1，1，
總能使得ms+nt=0，則數(shù)集A具有性質(zhì)P；
解：（2）b＞$\sqrt{2}$，數(shù)集A={-1，1，$\sqrt{2}$，b}具有性質(zhì)P，
選取$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（b，$\sqrt{2}$），A中與$\overrightarrow{{a}_{1}}$垂直的元素必有形式（-1，m）．
所以b=$\sqrt{2}$m，由b＞$\sqrt{2}$，可由m=$\sqrt{2}$，從而b=2；   
（3）猜想：x_k=q^k-1，k=1，2，3，…，n
記A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}，k=2，3，…，n
先證明若A_k+1具有性質(zhì)P，則A_k也具有性質(zhì)P．
任取$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（s，t），s、t∈A_k，當(dāng)s、t中出現(xiàn)-1時(shí)，
顯然有$\overrightarrow{{a}_{2}}$滿足$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{{a}_{2}}$=0，
當(dāng)s、t中都不是-1時(shí)，滿足s≥1且t≥1．
因?yàn)锳_k+1具有性質(zhì)P，所以有$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（s₁，t₁），s₁、t₁∈A_k+1，
使得$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{{a}_{2}}$=0，從而s₁、t₁其中有一個(gè)為-1．
不妨設(shè)s₁=-1，
假設(shè)t₁∈A_k+1，且t₁∉A_k，則t₁=x_k+1．
由（s，t）（-1，x_k+1）=0，得s=tx_k+1≥x_k+1，與s∈A_k矛盾．
所以t₁∈A_k，從而A_k也具有性質(zhì)P．
再用數(shù)學(xué)歸納法，證明x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論顯然成立；
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}具有性質(zhì)P，則x_i=q^i-1，i=1，2，…，k
當(dāng)n=k+1時(shí)，若A_k+1═{-1，x₁，x₂，…，x_k+1}具有性質(zhì)P，
則A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}具有性質(zhì)P，
所以A_k+1═{-1，q，q²，…，q^k-1，x_k+1}．
取$\overrightarrow{{a}_{1}}$=（x_k+1，q），并設(shè)$\overrightarrow{{a}_{2}}$=（s，t）∈Y，滿足$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{{a}_{2}}$=0，
由此可得s=-1或t=-1
若t=-1，則x_k+1=$\frac{q}{s}$＜q，不可能．
所以s=-1，x_k+1=qt=q^j≤q^k且x_k+1＞q^k-1，因此x_k+1=q^k
綜上所述，x_k=q^k-1，k=1，2，3，…，n．

點(diǎn)評(píng) 本題以向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算為載體，著重考查了集合元素的性質(zhì)與向量的綜合等知識(shí)點(diǎn)，本題是一道綜合題，請同學(xué)們注意解題過程中的轉(zhuǎn)化化歸思想的運(yùn)用．