【題目】如圖所示,橢圓的短軸為,離心率,為第一象限內(nèi)橢圓上的任意一點(diǎn),設(shè)軸于為線段的中點(diǎn),過(guò)作直線軸.

(1)求橢圓的方程;

(2)若的縱坐標(biāo)為,求直線截橢圓所得的弦長(zhǎng);

(3)若直線交直線,為直線上一點(diǎn),且為原點(diǎn)),證明:為線段的中點(diǎn).

【答案】(1) ;(2) ;(3)見解析.

【解析】

1)先求出b1,再根據(jù)離心率公式和a2b2+c2,即可求出,

2)根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求出,

3)設(shè)Px0,y0),求出點(diǎn)MD的坐標(biāo)根據(jù)DQOQO為原點(diǎn))即可證明.

(1)

,則,a=2

橢圓C的方程為:

(2)由點(diǎn)P在橢圓上,則,可得

,

直線AQ:y=x-1

代入,整理可得:

從而所截弦長(zhǎng)為

(3)設(shè)P(),則Q,

直線AQ:y=x-1,與直線l:y=1聯(lián)立

可得=

設(shè)D(),由DQ,可得

解得,代入①式中,化簡(jiǎn)

代入①式中,則,得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)當(dāng)左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少時(shí),甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低?

(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與此保管員室建造競(jìng)標(biāo),其給出的整體報(bào)價(jià)為,若無(wú)論左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少米,乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功,試求的取值范圍.

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