Question

【題目】如圖所示，直三棱柱中， ， ， ，點， 分別是的中點.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)連接， ,由中位線的性質可得： ，利用線面平行的判斷定理即可證得平面.

(Ⅱ)結合直三棱柱的性質，分別以， ， 所在直線為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則， ， ，據此可得平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，則，求解方程可得，利用線面角的向量求法可得.

試題解析：

（Ⅰ）連接， ,則且為的中點，

又 為的中點， ，

又平面， 平面，故平面.

（Ⅱ）因為是直三棱柱，所以平面，得.因為， ，

，故.以為原點，分別以， ， 所在直線為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

設，則， ， ，

， ， .

取平面的一個法向量為，

由得：令，得，

同理可得平面的一個法向量為，

二面角的大小為， ，

解得，得，又，

設直線與平面所成角為，則 .