Question

9．已知M（x₀，y₀）是雙曲線C：x²-y²=1上的一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是C上的兩個焦點，若$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}＜0$，則x₀的取值范圍是（　�。�

• A． $（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）$
• B． $（-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$
• C． $（-\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\frac{{\sqrt{6}}}{3}）$
• D． （-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-1]∪[1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）

Answer 1

分析 將M代入雙曲線的方程，求得兩焦點的坐標，運用向量的數(shù)量積的坐標表示，解不等式即可得到M的橫坐標的范圍．

解答 解：由題意可得x₀²-y₀²=1，①
F₁，F(xiàn)₂是C上的兩個焦點，且為（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0），
由$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{M{F_2}}＜0$，
可得（-$\sqrt{2}$-x₀，0-y₀）•（$\sqrt{2}$-x₀，0-y₀）＜0，
即為（-$\sqrt{2}$-x₀）（$\sqrt{2}$-x₀）+（-y₀）²＜0，
即有x₀²+y₀²＜2，②
由①②可得2x₀²＜3，
由x₀≥1或x₀≤-1
解得-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜x₀＜≤-1或1≤x₀＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的方程的運用，向量數(shù)量積的坐標表示，以及解不等式的能力，屬于中檔題．