Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω≤2，0≤φ＜π）是R上的偶函數(shù)，其圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，2），又f（x）的圖象關(guān)于N（

3π

4

，0）對(duì)稱，求f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）是R上的偶函數(shù)，求得φ=

π

2

．由于函數(shù)的圖象過點(diǎn)M（0，2），求得 A=2，可得函數(shù)y=2cosωx．再由f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)N（

3π

4

，0）對(duì)稱，可得ω•

3π

4

+

π

2

=kπ，k∈z，從而解得ω=

2

3

或2．即能夠求出f（x）的解析式．

解答： 解：根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω≤2，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，故φ=

π

2

．
由于函數(shù)的圖象過點(diǎn)M（0，2），可得Asinφ=Asin

π

2

=2，∴A=2，故函數(shù)y=2cosωx．
再由f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)N（

3π

4

，0）對(duì)稱，可得ω•

3π

4

+

π

2

=kπ，k∈z．
可解得：ω=

4k

3

-

2

3

，k∈z．
∵0＜ω≤2，∴ω=

2

3

或2．
∴f（x）=2sin（

2

3

x+

π

2

）或f（x）=2sin（2x+

π

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，復(fù)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．