Question

下列命題中，真命題是（　　）

• A、存在x∈[0，

  π

  2

  ]，使sinx+cosx＞

  2

• B、存在x∈（3，+∞），使2x+1≥x²
• C、存在x∈R，使x²=x-1
• D、對任意x∈（0，

  π

  2

  ]，使sinx＜x

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：A，sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），利用正弦函數(shù)的有界性，可判斷A；
B，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)x∈（3，+∞）時，f（x）=x²-2x-1為增函數(shù)，故f（x）＞f（3），從而可判斷B；
C，易知方程x²-x+1=0無解，可判斷C；
D，構(gòu)造函數(shù)f（x）=x-sinx，利用導(dǎo)數(shù)易判斷f（x）=x-sinx在區(qū)間（0，

π

2

]上為增函數(shù)，所以f（x）＞f（0）=0，從而可判斷D．

解答： 解：對于A，sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，故不存在x∈[0，

π

2

]，使sinx+cosx＞

2

，故A錯誤；
對于B，令f（x）=x²-2x-1，其對稱軸方程為x=1，當(dāng)x∈（3，+∞）時，f（x）=x²-2x-1為增函數(shù)，f（x）＞f（3）=9-6-1=2＞0，即x²＞2x+1，故B錯誤；
對于C，由于方程x²-x+1=0中，△=1-4=-3＜0，故方程x²-x+1=0無解，所以，不存在x∈R，使x²=x-1，故C錯誤；
對于D，令f（x）=x-sinx，因為x∈（0，

π

2

]，所以f′（x）=1-cosx＞0，故f（x）=x-sinx在區(qū)間（0，

π

2

]上為增函數(shù)，所以f（x）＞f（0）=0，即x-sinx＞0，
所以，sinx＜x，故D正確．
故選：D．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的有界性、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查構(gòu)造函數(shù)思想與等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．