Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)為a₁且1，a_n，S_n成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3），求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）1，a_n，S_n成等差數(shù)列，可得2a_n=S_n+1，n=1時(shí)，2a₁=a₁+1，解得a₁．n≥2時(shí)，利用遞推關(guān)系可得a_n=2a_n-1．
（2）b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3）=$lo{g}_{2}{2}^{2n}$$•lo{g}_{2}{2}^{2n+2}$=4n（n+1），可得$\frac{1}{b_n}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂項(xiàng)求和方法”即可得出．

解答 解：（1）∵1，a_n，S_n成等差數(shù)列，∴2a_n=S_n+1，
∴n=1時(shí)，2a₁=a₁+1，解得a₁=1．n≥2時(shí)，2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為1．∴${a_n}={2^{n-1}}$．
（2）b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3）=$lo{g}_{2}{2}^{2n}$$•lo{g}_{2}{2}^{2n+2}$=2n（2n+2）=4n（n+1），
∴$\frac{1}{b_n}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{4n+4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和”方法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．