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13.已知函數(shù)fk(x)=ax+ka-x,(k∈Z,a>0且a≠1).
(Ⅰ)若f1(1)=3,求f112)的值;
(Ⅱ)若fk(x)為定義在R上的奇函數(shù),且a>1,是否存在實數(shù)λ,使得fk(cos2x)+fk(2λsinx-5)<0對任意x∈[0,\frac{2π}{3}]恒成立,若存在,請求出實數(shù)k的取值范圍;若不存在,請說明理由.

分析 (Ⅰ)若f1(1)=3,則a+a-1=3,結(jié)合a+a-1=({a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}2-2可得答案;
(Ⅱ)若fk(x)為定義在R上的奇函數(shù),且a>1,則k=-1,fk(x)=ax-a-x在R上為增函數(shù),故問題可轉(zhuǎn)化為:λ<\frac{5-cos2x}{2sinx}=\frac{2{sin}^{2}x+4}{2sinx}=sinx+\frac{2}{sinx}對任意x∈[0,\frac{2π}{3}]恒成立,結(jié)合對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得答案.

解答 解:(Ⅰ)若f1(1)=3,
則a+a-1=({a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}2-2=3,
∴({a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}2=5,
{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5},或{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}=-\sqrt{5}(舍去),
則f1\frac{1}{2})={a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5},
(Ⅱ)若fk(x)為定義在R上的奇函數(shù),
則fk(0)=a+ka=0,
解得:k=-1,
∵a>1,
∴fk(x)=ax-a-x在R上為增函數(shù),
則fk(cos2x)+fk(2λsinx-5)<0可化為:fk(cos2x)<-fk(2λsinx-5)=fk(5-2λsinx),
即cos2x<5-2λsinx對任意x∈[0,\frac{2π}{3}]恒成立,
即λ<\frac{5-cos2x}{2sinx}=\frac{2{sin}^{2}x+4}{2sinx}=sinx+\frac{2}{sinx}對任意x∈[0,\frac{2π}{3}]恒成立,
令t=sinx,(t∈[0,1]),
則y=t+\frac{2}{t}為減函數(shù),當t=1時,y取最小值3,
故λ<3.

點評 本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的最值,對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì),函數(shù)求值,難度中檔.

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