Question

拋物線x²=2y上距離點A（0，a）（a>0）的最近的點恰好是頂點,則a的取值范圍是_____.

Answer 1

(0,1

解析:

設(shè)拋物線x²=2y上的任一點P（x₀，），x₀∈R.

∴|PA|²=x₀²+（a-）²=x₀²+a²-ax₀²+.

設(shè)x₀²=t，則t≥0.

∴|PA|²=+（1-a）t+a²

=［t²+4(1-a)t］+a²

=［t+2（1-a）］²+2a-1

=［t-2（a-1）］²+2a-1.

∵t≥0，a-1＞-1,

∴當(dāng)-1＜a-1≤0,

即0＜a≤1時,

則t=0,即x₀=0時|PA|_min==a.

當(dāng)a-1＞0,即a＞1時,

則t=2(a-1)≠0.

|PA|_min=.

綜上所得，當(dāng)a∈（0，1時，拋物線上距離A的最近點恰好是頂點，故填（0，1.