Question

6．設(shè)數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)n和為S_n，若對(duì)于任意的正整數(shù)n都有S_n=2a_n-2n．
（1）設(shè)b_n=a_n+2，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：S_n+1=2a_n+1-2（n+1），S_n=2a_n-2n，兩式相減得：a_n+1=2a_n+1-2a_n-2，整理得：a_n+1+2=2（a_n+2），由b_n=a_n+2，可知：$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$=2，可知數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得${b_n}=4•{2^{n-1}}={2^{n+1}}$，代入即可求得${a_n}={2^{n+1}}-2$；
（2）由（1）求出na_n，根據(jù)分組求和法、錯(cuò)位相減法，等比、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出T_n．

解答 解：（1）證明：∵S_n=2a_n-2n對(duì)于任意的正整數(shù)都成立，
∴S_n+1=2a_n+1-2（n+1），
兩式相減，得S_n+1-S_n=2a_n+1-2（n+1）-2a_n+2n，
∴a_n+1=2a_n+1-2a_n-2，即a_n+1=2a_n+2，
∴a_n+1+2=2（a_n+2），
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$=2，對(duì)一切正整數(shù)都成立．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
由已知得 S₁=2a₁-2即a₁=2a₁-2，
∴a₁=2，
∴首項(xiàng)b₁=a₁+2=4，公比q=2，
∴${b_n}=4•{2^{n-1}}={2^{n+1}}$．
∴${a_n}={2^{n+1}}-2$；
（2）∵na_n=n•2ⁿ⁺¹-2n，
∴{na_n}的前n項(xiàng)和T_n，
T_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹-2（1+2+…+n）
=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹-2×$\frac{n（n+1）}{2}$，
=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹-n（n+1）
令c_n=n•2ⁿ⁺¹，數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和C_n，
C_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，①
2C_n=1•2³+2•2⁴+…+n•2ⁿ⁺²，②
由①-②得：-C_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²
=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺²，
=2ⁿ⁺²-4-n•2ⁿ⁺²
=（1-n）2ⁿ⁺²-4，
∴C_n=（n-1）2ⁿ⁺²+4
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺²+4-n（n+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，S_n與a_n的關(guān)系式，以及分組求和法、錯(cuò)位相減法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．