Question

15．若直線y=-x+b與曲線x=$\sqrt{1-{y^2}}$恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是$-1≤b＜1或b=\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 曲線x=$\sqrt{1-{y^2}}$即 x²+y²=1（x≥0）表示一個(gè)半徑為1的半圓，分類討論求得當(dāng)直線y=-x+b與曲線x=$\sqrt{1-{y^2}}$即恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)b的取值范圍．

解答 解：曲線x=$\sqrt{1-{y^2}}$即 x²+y²=1（x≥0）表示一個(gè)半徑為1的半圓．
當(dāng)直線y=-x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，-1）時(shí)，求得b=-1，
當(dāng)直線y=-x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，1）時(shí)，求得b=1，
當(dāng)直線和半圓相切于點(diǎn)D時(shí)，由圓心O到直線y=-x+b的距離等于半徑，
可得$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$=1=1，求得b=$\sqrt{2}$，或b=-$\sqrt{2}$（舍去）．
故當(dāng)直線y=-x+b與曲線x=$\sqrt{1-{y^2}}$即有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)b的取值范圍是$-1≤b＜1或b=\sqrt{2}$，
故答案為$-1≤b＜1或b=\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓相交的性質(zhì)，考查了學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．