Question

已知命題p：（x+2）（x-6）≤0，q：2-m≤x≤2+m．
（Ⅰ）若m=5，“p或q”為真命題，“?p”為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（Ⅱ）若q是p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：對于p：由（x+2）（x-6）≤0，解得-2≤x≤6，
（Ⅰ）當(dāng)m=5時(shí)，q：-3≤x≤7．由“p或q”為真命題，“?p”為真命題，可得p假q真，解出即可．
（Ⅱ）設(shè)A=[-2，6]，B=[2-m，2+m]，由于q是p的充分不必要條件，可得B?A．分類討論：當(dāng)B=∅時(shí)，當(dāng)B≠∅時(shí)，即可得出．

解答： 解：對于p：由（x+2）（x-6）≤0，解得-2≤x≤6，
（Ⅰ）當(dāng)m=5時(shí)，q：-3≤x≤7．
∵“p或q”為真命題，“?p”為真命題，
∴p假q真，由

x＜-2或x＞6 -3≤x≤7

，得-3≤x＜-2或6＜x≤7．
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為[-3，-2）∪（6，7]． 
（Ⅱ）設(shè)A=[-2，6]，B=[2-m，2+m]，
∵q是p的充分不必要條件，
∴B?A．
當(dāng)B=∅時(shí)，2-m＞2+m，解得m＜0，
當(dāng)B≠∅時(shí)，
∴

2-m≤2+m 2-m≤-2 2+m≥6

，得m≥4，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，0）∪[4，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了復(fù)合命題的真假判斷方法、充要條件、集合之間的關(guān)系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．