Question

在遼闊的草原上，一騎士從某一出發(fā)點(diǎn)沿著與正東方向逆時(shí)針成θ(0＜θ＜

π

2

)的方向前進(jìn)m千米后，再按逆時(shí)針方向偏轉(zhuǎn)θ角方向再前進(jìn)m千米，如此進(jìn)行下去，正當(dāng)他前進(jìn)的路程為3m千米時(shí)，恰好處在出發(fā)點(diǎn)正北方向．
（1）求θ的值；
（2）他能回到原出發(fā)地嗎？至少需多少路程？

Answer 1

分析：（1）由已知中一騎士從某一出發(fā)點(diǎn)沿著與正東方向逆時(shí)針成θ(0＜θ＜

π

2

)的方向前進(jìn)m千米后，再按逆時(shí)針方向偏轉(zhuǎn)θ角方向再前進(jìn)m千米，我們可以畫出滿足條件的草圖，并求出

OA

、

AB

，

BC

向量的坐標(biāo)（含參數(shù)m，θ），由他前進(jìn)的路程為3m千米時(shí)，恰好處在出發(fā)點(diǎn)正北方向，我們可以構(gòu)造出滿足條件的方程組，解方程組即可求出θ的值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得若它要回到原點(diǎn)，則他的先進(jìn)軌跡組成一個(gè)正八邊形，進(jìn)而得到答案．

解答：解（1）如圖所示

OC

=

OA

+

AB

+

BC

①（1分）

OA

=(mcosθ•msinθ)

AB

=(mcos2θ•msin2θ)

BC

=(mcos3θ•msin3θ)

OC

=m(cosθ+cos2θ+cos3θ•sinθ+sin2θ+sin3θ)（4分）
當(dāng)點(diǎn)C在正北方向即cosθ+cos2θ+cos3θ=0cos（2θ-θ）+cos2θ+cos（2θ+θ）=02cosθcos2θ+cos2θ=0
又θ∈(0，

2

2

)∴2cosθ+1＞0
∴cos2θ=0
∴θ=

π

4

（7分）
（2）能（9分）
∵θ=

π

4

∴以O(shè)，A，B，C
為頂點(diǎn)可作一個(gè)正八邊形
∴至少需要8m千米回到原出發(fā)點(diǎn)（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，其中根據(jù)正當(dāng)他前進(jìn)的路程為3m千米時(shí)，及向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算，構(gòu)造關(guān)于數(shù)m，θ的方程是解答本題的關(guān)鍵．