Question

在遼闊的草原上，一騎士從某一出發(fā)點沿著與正東方向逆時針成的方向前進m千米后，再按逆時針方向偏轉(zhuǎn)θ角方向再前進m千米，如此進行下去，正當他前進的路程為3m千米時，恰好處在出發(fā)點正北方向．
（1）求θ的值；
（2）他能回到原出發(fā)地嗎？至少需多少路程？

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中一騎士從某一出發(fā)點沿著與正東方向逆時針成的方向前進m千米后，再按逆時針方向偏轉(zhuǎn)θ角方向再前進m千米，我們可以畫出滿足條件的草圖，并求出、，向量的坐標（含參數(shù)m，θ），由他前進的路程為3m千米時，恰好處在出發(fā)點正北方向，我們可以構(gòu)造出滿足條件的方程組，解方程組即可求出θ的值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得若它要回到原點，則他的先進軌跡組成一個正八邊形，進而得到答案．
解答：解（1）如圖所示①（1分）
（4分）
當點C在正北方向即cosθ+cos2θ+cos3θ=0cos（2θ-θ）+cos2θ+cos（2θ+θ）=02cosθcos2θ+cos2θ=0
又∴2cosθ+1＞0
∴cos2θ=0
∴（7分）
（2）能（9分）
∵∴以O，A，B，C
為頂點可作一個正八邊形
∴至少需要8m千米回到原出發(fā)點（13分）
點評：本題考查的知識點是已知三角函數(shù)模型的應用問題，其中根據(jù)正當他前進的路程為3m千米時，及向量加法的坐標運算，構(gòu)造關于數(shù)m，θ的方程是解答本題的關鍵．