Question

13．△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，則向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 由向量的數(shù)量積的定義可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2，再由向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的值．再根據(jù)根據(jù)|$\overrightarrow{AC}$|=|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2，求得|$\overrightarrow$|，從而求得向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角θ的值．

解答 解：△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2•2cos$\frac{π}{3}$=2，
又∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=4${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-1．
根據(jù)|$\overrightarrow{AC}$|=|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2，可得4${\overrightarrow{a}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=4-4+${\overrightarrow}^{2}$=4，可得${\overrightarrow}^{2}$=4，∴|$\overrightarrow$|=2．
設(shè)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為θ，由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1•2•cosθ=-1，可得cosθ=-$\frac{1}{2}$，∴θ=120°，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要考查向量的平方即為模的平方，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．