Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，底面為正方形，、分別為、的中點．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【解析】

（Ⅰ）由中位線的性質得出，再由線面平行的判定定理可證得平面；

（Ⅱ）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，利用空間向量法可求出直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求出平面的一個法向量，利用空間向量法可求得二面角的余弦值．

（Ⅰ）因為，，所以，

且平面，平面，則平面；

（Ⅱ）因為，，且，所以平面，

則以點為原點建立空間直角坐標系（如圖），

設，可得，，，、、．

向量，，.

設為平面的法向量，則，即，

不妨令，可得為平面的一個法向量，

設直線與平面所成角為，

于是有，

因此，直線與平面所成角的正弦值為；

（Ⅲ）因為為平面的法向量，所以，

由圖形可知，二面角的平面角為銳角，它的余弦值為.