7.已知函數(shù)f(x)=x2-2x-8,g(x)=2x2-4x-16,
(1)求不等式g(x)<0的解集;
(2)若對一切x>5,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)直接因式分解后求解不等式的解集;
(2)把函數(shù)f(x)的解析式代入f(x)≥(m+2)x-m-15,分離變量m后利用基本不等式求解m的取值范圍.

解答 解:(1)由g(x)=2x2-4x-16<0,得x2-2x-8<0,
即(x+2)(x-4)<0,解得-2<x<4.
所以不等式g(x)<0的解集為{x|-2<x<4};
(2)因為f(x)=x2-2x-8,
當(dāng)x>5時,f(x)≥(m+2)x-m-15成立,
則x2-2x-8≥(m+2)x-m-15成立,
即x2-4x+7≥m(x-1).
所以對一切x>5,均有不等式$\frac{{x}^{2}-4x+7}{x-1}$≥m成立.
而$\frac{{x}^{2}-4x+7}{x-1}$=(x-1)+$\frac{4}{x-1}$-2≥2$\sqrt{(x-1)×\frac{4}{x-1}}$-2=2(當(dāng)x=3時等號成立).
因為x=5,所以,$\frac{{x}^{2}-4x+7}{x-1}$=3.
實數(shù)m的取值范圍是(-∞,3].

點評 本題考查了一元二次不等式的解法,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,訓(xùn)練了利用基本不等式求函數(shù)的最值,是基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊系列答案
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