2.設(shè)數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,已知an>0,(an+1)2=4(Sn+1),bnSn-1=(n+1)2,其中n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前項(xiàng)和Tn;
(3)且符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),例如[$\frac{2}{3}}$]=0,[${\frac{11}{12}}$]=0,[${\frac{21}{20}}$]=0,[2.8]=2.當(dāng)n∈N*時(shí),試求[T1]+[T2]+…+[Tn].

分析 (1)由題意可知:當(dāng)$n=1,{({a_1}+1)^2}=4({a_1}+1)$,解得:a1=3,則${a}_{n}^{2}$+2an+1=4Sn+4①,當(dāng)n≥2時(shí),${a}_{n-1}^{2}$+2an-1+1=4Sn-1+4②,①-②得an-an-1=2,因此數(shù)列{an}為首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)由(1)可知:${S_n}=\frac{(3+2n+1)n}{2}={n^2}+2n$,${b_n}({n^2}+2n)-1={n^2}+2n+1$,${b_n}=\frac{{{n^2}+2n+2}}{{{n^2}+2n}}=1+\frac{2}{{{n^2}+2n}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$,采用分組求和及“裂項(xiàng)法”即可求得數(shù)列{bn}的前項(xiàng)和Tn;
(3)由(2)可知:[T1]+[T2]+…+[Tn]=1+2+4+5+6+7+…+n+1,根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得[T1]+[T2]+…+[Tn]的值.

解答 解:(1)當(dāng)$n=1,{({a_1}+1)^2}=4({a_1}+1)$,整理得:${a}_{1}^{2}$-2a1-3=0,
解得:a1=3或a1=-1(舍去)
${a}_{n}^{2}$+2an+1=4Sn+4①
當(dāng)n≥2時(shí),${a}_{n-1}^{2}$+2an-1+1=4Sn-1+4②
①-②得${a_n}^2-{a_{n-1}}^2+2{a_n}-2{a_{n-1}}=4{a_n}$,化簡(jiǎn)得:${a_n}^2-{a_{n-1}}^2=2({a_n}+{a_{n-1}})$,
∴an-an-1=2,
∴數(shù)列{an}為首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,
∴an=3+(n-1)2=2n+1,
數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n+1;
(2)由(1)得,${S_n}=\frac{(3+2n+1)n}{2}={n^2}+2n$,
${b_n}({n^2}+2n)-1={n^2}+2n+1$,
∴${b_n}=\frac{{{n^2}+2n+2}}{{{n^2}+2n}}=1+\frac{2}{{{n^2}+2n}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$,
∴${T_n}=n+(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$,
=$n+(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})$,
=$n+\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}$,
數(shù)列{bn}的前項(xiàng)和Tn,Tn=$n+\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}$;
(3)由(2)可知:[T1]+[T2]+…+[Tn]=1+2+4+5+6+7+…+n+1,
=$\frac{(4+n+1)(n-2)}{2}+3$,
=$\frac{{{n^2}-3n-4}}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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甲校:
分組[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)
頻數(shù)23101515x31
乙校:
分組[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)
頻數(shù)12981010y3
(1)求表中x與y的值;
(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表,問(wèn)是否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān)?
(3)若以樣本的頻率作為概率,現(xiàn)從乙?傮w中任取3人(每次抽取看作是獨(dú)立重復(fù)的),求優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
 P(K2≥k) 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 
 k2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 
(K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d)
  甲校 乙校 總計(jì)
 優(yōu)秀   
 非優(yōu)秀   
 總計(jì)   

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