Question

5．已知四邊形PQRS是圓內(nèi)接四邊形，∠PSR=90°，過點Q作PR、PS的垂線，垂足分別為點H、K．
（1）求證：Q、H、K、P四點共圓；
（2）求證：QT=TS．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的三個頂點可看作以斜邊為直徑的圓上的三點即得結(jié)論；
（2）通過互補、同弧所對的圓周角相等，說明△TSK、△TKQ為等腰三角形即可．

解答 證明：（1）∵過點Q作PR、PS的垂線，垂足分別為點H、K，
∴∠PHQ=∠PKQ=90°，
∴Q、H、K、P四點共圓；
（2）∵Q、H、K、P四點共圓，
∴∠HKS=$\frac{π}{2}$-∠HPQ=∠HQP，①
∵∠PSR=90°，PR為圓B的直徑，
∴∠PQR=90°，∠QRH=∠HQP，②
由①②得，∠QSP=∠HKS，
∴△TSK為等腰三角形，ST=TK，
又∵∠SKQ=90°，
∴∠SQK=∠TKQ，即△TKQ為等腰三角形，QT=TK，
∴QT=TS．

點評 本題考查綜合法在證明中的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．